دکتر محسن هشترودی

شرح حال بزرگ مردی که نگاه تیز بین او فراسوی هر پرده مات و کدری را در می‌یافت و وقتی به دنیا می‌نگریست به قدری آن را خوب می‌شناخت که درک نوع نگاه او به دنیا به بررسی بسیار نیاز دارد. در سال هزار و دویست و هشتاد و شش خورشیدی در شهر تبریز در خانواده‌ای فرهیخته کودکی به دنیا آمد که او را محسن نام نهادند، پدرش همچون اکثر آذریها مردی بود کوشا و با همت که چهارده سال در نجف اشرف تحصیل کرده بود. یک روحانی وارسته و پرهیزگار که چون از نجف به تبریز برگشت اشراف و اعیان شهر برای او هدیه‌های بسیار فرستادند و او که انسانی وارسته بود تمام هدیه‌ها را پس فرستاد حتی هدیه صولت السلطنه را. و با این شیوه به آنان فهماند که وابستگی به یک طبقه و دلسوزی برای طبقه دیگر باهم منافات دارد، این بود که در کنار ستارخان سردار ملی به مبارزه پرداخت و در دور اول و دوم به نمایندگی مردم تبریز به مجلس شورا رفت. او مرد پارسا و سخت کوشی بود که از مال دنیا چیزی نیندوخت و همواره سعی می‌کرد چهار فرزند پسرش را پارسا و سخت کوش و دانش دوست بار آورد و در این امر نیز موفق شد به گونه‌ای که هر چهار فرزندش به نحوی در زمینه کاری خود موفق بودند.

ادامه نوشته

Li Ye

ریاضیدان چینی
دوره زندگی
– ۱۲۷۹ ـ ۱۱۹۲
زمینه ریاضیات
– معادلات جبری برای هندسه
اثر
Sea Mirror of Circle Measurements–
Old Math in Expanded Sections–
– هر دو اثر Li Yeمسایل هندسی را به صورت جبری در می آورد و سپس به حل آنها می پردازد .
بعد از Li Ye و قبل از عصر جدید ، اعداد مهم معدودی وجود داشت . در طول دوران مغول و Ming، متون قدیمی هم به صورت مجازی و هم به صورت تحت اللفظی به مسایل غیر قابل فهم / معما تبدیل شدند . در اواخر قرن شانزدهم ، Matleo Ricciعلم غربی را به چین آورد و بدین ترتیب رسم محلی عملاً از بین رفت .

Jia Xian

ریاضیدان چینی
دوره زندگی
– قرن یازدهم
استخراج ریشه
– کشف کرد که چگونه برای یک عدد صحیح مثبت n، ریشه استخراج کند.
مثلث پاسکال
– چینی ها مثلث پاسکال را در قرن یازدهم شناختند .
–آنها از مثلث پاسکال برای استخراج ریشه استفاده می کردند .
a+b)²=1a²+2ab+1b² )
– ۱ ۲ ۱سومین ردیف در مثلث پاسکال به شمار می رود .
Jia Xian  محاسباتش را بر روی یک صفحه شمارنده انجام می داد . Qin Jiushaoدر کتابش تحت عنوان ” رساله ریاضی در نه فصل ” متد Jia Xianرا توضیح داده است .

تعریف هندسه نااقلیدسی

از علوم ریاضی وعلمی است که درآن از احوال مقدارها واندازه ها بحث می شود.

رشته ای از ریاضیات است که درباره مطالعه در فضا و اجسام قابل تصور در فضابحث

می نماید :

ستاره شمر نیست از ما کسی                           که از هندسه بهره دارد بسی (فردوسی)

به علم هندسه سربرکشیده                       به سندو هندواطراف خراسان(ناصر خسرو)

گر به زمین افتدی هندسه رای تو                قوس قزح سازدی طاق پل رود زم (خاقانی)

تالس

تالس ملطی
تالس ملطی (به یونانی: Θαλης) در حدود سال ۶۴۰ (پیش از میلاد) در شهر «میلیتوس» بدنیا آمد. بسیاری از او به عنوان اولین فیلسوف یونانی و همچنین پدر علم یاد می‌‌کنند. تالس بیشتر وقت خود را صرف مطالعه ریاضیات و ستاره‌شناسی کرد و فقط به قصد تامین معاش روزانه، به سوداگری پرداخت. تالس از زمرهٔ «ماده‌گرایان» اولیه محسوب می‌شود.
زندگی
پیشینه :
تالس در شهر میلتوس در ایونیا (غرب ترکیه امروزی) می‌‌زیست. سالیان حیات تالس به روشنی معلوم نیست. بنا بر یک روایت، وی نود سال زیست، و بنا بر روایتی دیگر هشتاد سال. در طول حیات بلند خود، تالس درگیر فعالیت‌های گوناگون بسیاری شد و نوآوری‌های زیادی انجام داد. عده‌ای معتقدند وی نوشته‌ای از خود به جای نگذاشت و عده‌ای بر این باورند که او نگارندهٔ “دربارهٔ انقلاب نجومی” و “دربارهٔ اعتدال شب و روز” است، هر چند هیچ کدام باقی نمانده است.
تالس در کهولت ملقب به خردمند شد و بعدها که یونانیان برای خود هفت خردمند شناختند، او را نخستین آنان دانستند. تالس سرانجام هنگامی که نظاره‌گر یک مسابقه ورزشی بود، از گرما و تشنگی و ناتوانی جان سپرد.
تجارت :
بعضی بر این باورند که تالس تنها یک متفکر صرف نبود، بلکه در تجارت و سیاست هم نقش داشت. هر چند با توجه به فلسفه وی، با انجام کارهای تجاری، هدف وی ثروتمند شدن صرف نبود.
سیاست :
زندگی سیاسی تالس بیشتر به درگیری ایونی‌ها در دفاع از آناتولی در برابر قدرت فزایندهٔ ایرانیان که تازه به آن منطقه وارد شده بودند بر می‌‌گردد.
اخلاق :
دیدگاه تالس دربارهٔ اخلاق را می‌‌توان از گفتارهای منسوب به وی در دیوجانس لائرتیوس فهمید. نخست او به یک خدای متعالی که نه آغاز است نه پایان قایل است. او معتقد است خداوند عادل است و از بشر هم انتظار اعمال عادلانه دارد. نه ناعادل بودن (آدیکوس)، و نه اندیشهٔ بی عدالتی از دیدگان خدا پنهان نمی‌ماند.

داستان کوتاه صدای ریاضی دان

روزی دو دوست، یک مهندس و یک فیزیکدان سوار بالون شدند. پس از مدتی فهمیدند که بالون، آنها را به صحرایی دوردست برده است. آنها گم شده بودند. هردو با هم شروع به فریاد زدن کردند: “آهـــــای! ما کجـــا هستیـــــم”؟
این کار را چند بار تکرار کردند و بعد خسته و ناامید نشستند.
ده دقیقه بعد صدایی شنیدند که می گفت: “اوهـــوی! شما داخل یک بالون هستیــــد”.
مهندس گفت: “شرط می بندم که این صدا، صدای یک ریاضی دان است”.
فیزیکدان پرسید: “از کجا اینقدر مطمئن هستی”؟
مهندس گفت: “چون جوابی که به سوال ما داده صد درصد درست و مطلقا به درد نخور بود” !

رابطه ی ریاضی فاصله ی سیارات تا خورشید

سال ۱۷۶۶ میلادی، یوهان تیتوس منجم آلمانی توانست رابطه ساده ای بیابد که با استفاده از آن می شد فاصله سیارات از خورشید را بدست آورد. چند سال بعد نیز دیگر منجم هموطن او، یوهان الرت بُد، این رابطه را مستقلا” دوباره کشف کرد.البته این رابطه را هر دو از طریق بازی با اعداد بدست آوردند و بدست آوری آن رابطه پایۀ علمی نداشت. امروزه این رابطه به رابطه تیتوس_بُد مشهور است. این رابطه بدین صورت است:

فاصله سیاره از خورشید(بر حسب فاصله متوسط زمین از خورشید)=۰٫۴+(۰٫۳*n)

… , n=0, 1, 2, 4, 8

اعدادبدست آمده با دقت خوبی با فاصله واقعی سیارات همخوانی داشت:

سیارات	عطارد	زهره	زمین	مریخ	؟؟؟	مشتری	زحل
جواب رابطه تیتوس_بُد	۰٫۴	۰٫۷	۱٫۰	۱٫۶	۲٫۸	۵٫۲	۱۰
فاصله واقعی از خورشید	۰٫۳۹	۰٫۷۲	۱٫۰۰	۱٫۵۲	؟؟؟؟	۵٫۲۰	۹٫۵۴

برای فاصله ۲٫۸ برابر فاصله زمین از خورشید در آن زمان سیاره ای یافت نشده بود. بسیاری از اخترشناسان عقیده داشتند که سیاره ای کوچک در این فاصلۀ بین مریخ و مشتری وجود دارد که کشف نشده است. جستجوی منظم نوار دایرِةالبروج برای یافت این سیارۀ مفقود از اواخر قرن هجدهم شروع شد و سرانجام در اولین روز قرن نوزدهم، یک منجم ایتالیایی به نام جوزپه پیاتزی، موفق شد جسم کوچکی را در حدود این فاصله از خورشید بیابد که آن را سِرِس نامید. بعد از آن نیز اجرام دیگری با همین فاصله از خورشید کشف شدند. اخترشناسان آن دوران این نظریه را پیش کشیدند که در آن فاصله از خورشید، بجای یک سیاره، تعداد زیادی سیارک وجود دارد که با کشف تعدادزیادی از این سیاکها در سالهای بعد این نظریه تایید شد.در حقیقت رابطه تیتوس_بُد محرک اصلی کشف سیارکها بود.
سالها بعد نیز سیارۀ اورانوس کشف شد که فاصله اش با فاصله پیشبینی شده توسط رابطه تیتوس_بُد نیز می خواند!(۱۹٫۶ بنابر رابطه و ۱۹٫۹ بنابر اندازه گیری). اما فاصله سیارات بعدی نپتون و پلوتو در این رابطه صدق نمی کنند. امروزه نظریه ای که به نظریه واهلش دینامیکی(Dynamical Relaxation) موسوم است توضیحی برای این رابطه یافته است. بنا به این نظریه، سیارات نخست در مدارات متفاوت تکوین یافتند؛ اما سپس به مداراتی منتقل شدند که نیروهای اغتشاشی گرانشی دیگر سیارات را به حداقل برسانند. نتیجه این کار از نظر ریاضی به روابطی شبیه رابطه تیتوس_بُد منجر می شود.

هندسه ترسیمی و رقومی

در این قسمت می خواهیم تعاریف دقیقی از هندسه ترسیمی و رقومی ارائه دهیم :

هندسه ترسیمی : اگر دو صفحه متعامد نامتناهی را در نظر بگیریم  خواهیم دید که فضا به چهار ناحیه مجزا تقسیم خواهد شد و یکی از صفحات را صفحه افق و دیگری را صفحه قائم در نظر می گیریم حال اگر هر جسم را فضا را به این دو صفحه تصویر کنیم  هندسه پدید آمده را هندسه ترسیمی و شبکه ایجاد شده  را شبکه سه بعدی هندسه ترسیمی گویند . محل تلاقی دو صفحه که یک خط خواهد بود خط العرض  گویند و با نماد xy  نشان می دهیم

برای بررسی نقاط ؛ خطوط ویا صفحات و یا هر شکل دیگر هندسی باید آثار آنها را روی صفحات افق و یا قائم مشخص نماییم  برای این کار همواره باید از نقاط داده شده بر صفحه افق و یا قائم تصویر عمودی رسم نمود و فاصله

آن تصویر  نقطه روی صفحه قائم تا خط العرض را ارتفاع نقطه گفته و با نماد h نشان می دهیم و فاصله تصویر نقطه روی صفحه افق تا خط العرض را بعد نقطه گوییم و با نماد e نشان می دهیم  . اگر بخواهیم حالت دقیقتری از شکل را مشاهده کنیم صفحه نیم رخ را تعریف نموده که این صفحه بر صفحات افق و قائم عمود است بنابر این می توان گفت که در حالت کلی صفحه نیم رخ بر خط العرض  تصویر شده است .

نقطه : در این هندسه هر نقطه دارای تصویری بر صفحه افق و صفحه قائم خواهد بود  که آنها نیز بصورت یک نقطه دیده می شود .

از : ریاضی دروازه علوم است

سوریه سدهانته(Surya Siddhanta)

(سال ۳۰۰ بعد از میلاد )
ـــ ریاضیدان هندی
– منظومه خورشیدی
– با المجسطی بطلمیوس از این جهت شباهت دارد که هر دو با مقدمات ریاضی آغاز می شود .

زیبایی شناسی در درس ریاضی

علاقه به هنر و توجه به زیبایی های طبیعت و زندگی یکی از جنبه های شخصیت انسانی را تشکیل می دهد و این علاقه را می توان ، و باید از همان سال های نخست تحصیل ، شکل دادو تقویت کرد . مبارزه با زیبایی و کشاندن کودکان و نوجوانان به سمت پدیده های اندوه بار و تلاش برای دور نگه داشتن آنها از زیبایی های درون و بیرون خود ، به معنای ستیز با طبیعت انسانی آن هاست ودر بهترین صورت خود موجب یأس و سرخوردگی و یا عصیان و بی بند و باری می شود .
درس های ریاضی می تواند نقش عمده ای در شکوفایی زیبایی شناسی داشته باشد و معلم با تجربه می تواند از هر فرصتی برای تقویت درک هنری دانش آموزان استفاده کند و ظرافت بیشتری به روحیه ی زیبا شناسی آن ها بدهد . کودکان و نوجوانان هر چیز جالب را دوست دارندو در ریاضیات ، موضوع های جالب و زیبا ،فراوان است .
ریاضیات دانشی است منطقی ، دقیق و قانع کننده و همه ی بخش های آن ، مثل حلقه های زنجیر به هم پیوسته اند. سرچشمه ی تأثیر احساسی و هنری ریاضیات را ، باید در قطعی بودن نتیجه گیری ها و عام بودن کاربردهای آن و هم چنین ، در کامل بودن زبان ریاضیات ، شاعرانه بودن تاریخ آن و در مسأله های معمایی و سرگرم کننده ، جستجو کرد .

مصریان باستان و ریاضی

منشا بیشترین دانشی که از ریاضی مصریان کسب نمودیم  ” پاپیروس مسکو ” و ” پاپیروس ریاضی ریند ” می باشد .
سیستم عددنویسی
دلیل این امر که ریاضی مصریان پیشرفت نکرد ، نادرست بودن سیستم عددنویسی آنهابود .
– نوشتن اعداد وقت گیر بود .
– فضای زیادی را اشغال می کرد .
– مجسم کردن اعداد بزرگ سخت بود .
– کسرهای رمزی ( کسرهایی با صورت واحد )
– ضرب کردن اعداد دشوار بود .
– دسته بندی دستگاه (به کار بردن دستگاه مکانی)
– اعشاری
– فاقد عدد صفر بود .
جبر
– دانش مصریان در جبر خیلی محدودتر از دانش بابلیان در این علم بود .
– پاپیروس ریند به معادلات خطی محدود می شد .
دو برابر کردن
– آنها از دو برابر کردن به عنوان یک عمل اساسی برای جمع و تفریق اعداد استفاده می کردند .
– عدد پی (۳٫۱۶) : ۹/۸ قطرسپس به توان دو برساند.
موفقیتها
– تلاشهایی که برای حل مسائل تربیع دایره انجام می شد .
– تقویم شمسی ـ قمری

علم ریاضیات

ریاضیات عموما مطالعه الگوی ساختار، تحول، و فضا تعریف شده است؛ بصورت غیر رسمی تر، ممکن است بگویند . مطالعهاعداد و اشکال است.تعریف ریاضیات بر حسب وسعت دامنة آن و نیز بسط دامنة فکر ریاضی تغییر کرده است.
ریاضیات زبانی خاص خود دارد،که در آن به جای کلمات و علائم نقطه گذاری از اعداد و نمادها استفاده میشود. در منظر صاحبان فکر، تحقیق بدیهیات ساختارهای مجرد تعریف شده، با استفاده از منطق و نماد سازی ریاضی می باشد.
نخستین اعداد ثبت شده خطوطی بودند که روی یک چوب کشیده میشدند،که اصطلاحا آنها را چوبخط مینامیدند.این خطوط به شکل دسته های کوچک دو یا پنج تایی کشیده میشدند.سرانجام به این دسته ها نمادهای خاصی اختصاص داده شد(۵،۲ و غیره)و یک دستگاه حساب ایجاد شد.
ریاضیدانان نمادهای خاصی را به جای کلماتی از قبیل به اضافه و مساوی است با وضع کردند،همچنین کلمات خاصی را برای بیان مفاهیم جدید ابداع کردند.
چنانکه زمانی آن ار علم عدد ، زمانی علم فضا ، گاه علم کمیات ، و زمانی علم مقادیر متصل و منفصل خوانده اند.ریاضیات درباره حساب ، هندسه ، جبر و مقابله بحث می کند که ما در اینجا به سراغ تاریخ هر یک از آنها می رویم.
ساختارهای بخصوصی که در ریاضیات مورد تحقیق و بررسی قرار میگیرند اغلب در علوم طبیعی منشاء دارند، و بسیار عمومی در فیزیک، ولی ریاضیات ساختارهای دلایلی را نیز بررسی می نماید که بصورت خالص در مورد باطن ریاضی است، زیرا ریاضیات می توانند برای مثال، یک عمومیت متحد شده را برای زیر-میدانهای متعدد ، یا ابزارهای مفید را برای محاسبات عمومی، فراهم نماید. در نهایت، ریاضیدانان بسیاری در مورد مطالبی که مطالعه می نمایند که منحصرا دلایل علمی محض داشته، ریاضیات را بصورت هنری برای پروراندن علم، صرف نظر از تجربی یا کاربردی، می نگرند.
حساب ، علم اعداد است. واژه انگلیسی حساب ، از کلمه ای یونانی به معنای اعداد گرفته شده است.
در آغاز شهرنشینی ، انسان گوسفندان ، گاوها و سایر حیوانات خود را با انگشتانش می شمرد. در واقع کلمة دیژیت که برای شمارش اعداد از ۰ تا ۹ به کار می رود، از یک کلمة لاتین به معنای انگشت گرفته شده است.
بعدها انسان با علامت زدن روی چوب یا درخت ، اشیاء را می شمرد. اما این روش به زودی جای خود را به استفاده از علامت هایی باری هر یک از اعداد داد.
هندسه مطالعه انواع مختلف اشکال و خصوصیات آنهاست. همچنین مطالعه ارتباط میان اشکال ، زوایا و فواصـل است.

زمانی فرا خواهد رسید که پسرها بزرگتر از پدرشان خواهند شد !

محاسبه ی عجیب

از پدری پرسیدند ایا درست است که می گویند :زمانی فرا خواهد رسید که پسرها بزرگتر از پدرشان خواهند شد ؟گفت:اتفاقا” این موضوع سخت ذهن مرا به خود مشغول کرده است.البته کاری به استعداد و نبوغشان ندارم.منظور من سن و سال انهاست.پرسیدند :به چه دلیل؟گفت به این دلیل که برایتان شرح خواهم داد.
_وقتی ۳۰ ساله بودم فرزندمان متولد شد .یعنی ۳۰ برابر او سن داشتم.
_وقتی ۲ ساله شد من ۳۲ سال داشتم . یعنی ۱۶ برابر او سن داشتم
ـوقتی ۵ ساله شد من ۳۵ سال سن داشتم .یعنی ۷ برابر او سن داشتم .
ـوقتی ۱۵ ساله شد من ۴۵ ساله شدم. یعنی ۳ برابر او سن داشتم.
ـحالا که ۳۰ ساله شده است من ۶۰ سال دارم یعنی فقط ۲ برابر او سن دارم.
می ترسم اگر اوضاع به همین منوال پیش برود او به زودی از من جلو بزند و پدر من شود و من پسر او شوم.

هندسه غیر اقلیدسی

در قرن نوزدهم دو ریاضیدان بزرگ به نام «لباچفسکى» و «ریمان» دو نظام هندسى را صورت بندى کردند که هندسه را از سیطره اقلیدس خارج مى کرد. صورت بندى «اقلیدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترین کالاى فکرى بود و پنداشته مى شد که نظام اقلیدس یگانه نظامى است که امکان پذیر است. این نظام بى چون و چرا توصیفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقلیدسى مدلى براى ساختار نظریه هاى علمى بود و نیوتن و دیگر دانشمندان از آن پیروى مى کردند. هندسه اقلیدسى بر پنج اصل موضوعه

استوار است و قضایاى هندسه با توجه به این پنج اصل اثبات مى شوند. اصل موضوعه

پنجم اقلیدس مى گوید: «به ازاى هر خط و نقطه اى خارج آن خط، یک خط و تنها یک خط

به موازات آن خط مفروض مى تواند از آن نقطه عبور کند.

اساساً هندسه نااقلیدسی چیست؟

اساساً هندسه نااقلیدسی چیست؟ هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی می نامند. از این گونه هندسه ها تا به حال زیاد شناخته شده است. اختلاف بین هندسه های نااقلیدسی و اقلیدسی تنها در اصل توازی است. در هندسه اقلیدسی به ازای هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن یک خط می توان موازی با آن رسم کرد.

نقیض این اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازی که از یک نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم کرد، بیش از یکی است. و یا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به این دو نقیض، هندسه های نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم کرد :
یک – هندسه های هذلولوی :

هندسه های هذلولوی توسط بویوئی و لباچفسکی بطور مستقل و همزمان کشف گردید.
اصل توازی هندسه هذلولوی – از یک خط و یک نقطه ی نا واقع بر آن بی شمار خط موازی با خط مفروض می توان رسم کرد.

دو – هندسه های بیضوی :

در سال ۱۸۵۴ فریدریش برنهارد ریمان نشان داد که اگر نامتناهی بودن خط مستقیم کنار گذاشته شود و صرفاً بی کرانگی آن مورد پذیرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعدیل جزئی اصول موضوعه دیگر، هندسه سازگار نااقلیدسی دیگری را می توان به دست آورد. پس از این تغییرات اصل توازی هندسه بیضوی بصورت زیر ارائه گردید.

اصل توازی هندسه بیضوی – از یک نقطه ناواقع بر یک خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم کرد.

یعنی در هندسه بیضوی، خطوط موازی وجود ندارد. با تجسم سطح یک کره می توان سطحی شبیه سطح بیضوی در نظر گرفت. این سطح کروی را مشابه یک صفحه در نظر می گیرند. در اینجا خطوط با دایره های عظمیه کره نمایش داده می شوند. بنابراین خط ژئودزیک یا مساحتی در هندسه بیضوی بخشی از یک دایره عظیمه است.

در هندسه بیضوی مجموع زوایای یک مثلث بیشتر از ۱۸۰ درجه است. در هندسه بیضوی با حرکت از یک نقطه و پیمودن یک خط مستقیم در آن صفحه، می توان به نقطه ی اول باز گشت. همچنین می توان دید که در هندسه بیضوی نسبت محیط یک دایره به قطر آن همواره کمتر از عدد پی است.

در مورد نظریه نسبیت عام

در نظریه نسبیت عام گرانش یک نیرو نیست بلکه نامى است که ما به اثر انحناى زمان _ مکان بر حرکت اشیا اطلاق مى کنیم. آزمون هاى عملى ثابت کردند که شالوده عالم نااقلیدسى است و شاید نظریه نسبیت عام بهترین راهنمایى باشد که ما با آن مى توانیم اشیا را مشاهده کنیم. اما مدافعین هندسه اقلیدسى معتقد بودند که به وسیله آزمایش نمى توان تصمیم گرفت که ساختار هندسى جهان اقلیدسى است یا نااقلیدسى. چون مى توان نیروهایى به سیستم مبتنى بر هندسه اقلیدسى اضافه کرد به طورى که شبیه اثرات ساختار نااقلیدسى باشد. نیروهایى که اندازه گیرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغییر دهند که پدیده هایى سازگار با زمان – مکان خمیده به وجود آید. این نظریه به ((قراردادگرایى)) مشهور است که نخستین بار از طرف ریاضیدان و فیزیکدان فرانسوى ((هنرى پوانکاره)) ابراز شد. اما نظریه هایى که بدین طریق به دست مى آوریم ممکن است کاملاً جعلى و موقتى باشند. اما دلایل کافى براى رد آنها وجود دارد.

نیکلای ایوانویچ لباچفسکی (Lobachevsky, Nikolay Ivanovich) از جمله اولین کسانی بود که قواعد هندسه اقلیدسی را که بیش از ۲۰۰۰ سال بر علوم مختلف ریاضی و فیزیک حاکم بود درهم شکست. کسی باورش نمی شد هنگامی که اروپا مرکز علم بود شخصی در گوشه ای از روسیه بتواند پایه های هندسه اقلیدسی را به لرزه در بیاورد و پایه های علم در قرن نوزدهم را پی ریزی کند.

خیال نداریم راجع به خود او صحبت کنیم بلکه می خواهیم بطور مختصر بیان کنیم که او چه کرد. در میان اصول هندسه اقلیدسی – که راجع به آن درصفحات قبل صحبت کردیم- اصلی وجود دارد به اینصورت : “از هر نقطه خارج یک خط نمی توان بیش از یک خط موازی – در همان صفحه ای که خط و نقطه در آن قرار دارند – به موازات آن خط رسم کرد “.
در طول سالها این اصل اقلیدس مشکل بزرگی برای ریاضی دانان بود. چرا که ظاهری شبیه به قضیه داشت تا اصل. مقایسه کنید آنرا با این اصل اقلیدس که می گوید بین هر دو نقطه می توان یک خط راست کشید و یا اینکه همه زوایای قائمه با هم برابر هستند.
حقیقت آن است که بسیاری از ریاضی دانان سعی کردند که این اصل اقلیدس را اثبات کنند اما متاسفانه هرگز این امر ممکن نشد. حتی خیام در برخی مقالات خود سعی در اثبات این اصل کرد اما او نیز همانند سایرین به نتیجه نرسید .
لباچفسکی (۱۷۹۲ – ۱۸۵۶) نیز همانند بسیاری از دانشمندان علوم ریاضی سعی در اثبات این اصل کرد و هنگامی که به نتیجه مطلوب نرسید نزد خود به این فکر فرو رفت که این چه هندسه ای است که بر پایه چنین اصل بی اعتباری استوار شده است. اما لباچفسکی در کوشش بعدی خود سعی کرد تا رابطه میان هندسه و دنیای واقعی را پیدا کند .
او معتقد بود اگر نتوانیم از سایر اصول هندسه اقلیدسی این اصل را ثابت کنیم باید به فکر مجموعه اصول دیگری برای هندسه باشیم. اصولی که در دنیای واقعی حضور دارند. او پس از بررسی های بسیار چنین بیان کرد :

“از هر نقطه خارج یک خط می توان لااقل دو خط در همان صفحه به موازات خط رسم کرد”

هر چند پس از این فرض بنظر می رسید که وی در ادامه به تناقض های بسیاری خواهد رسید اما او توانست بر اساس همین فرض و مفروضات قبلی اقلیدس به مجموعه جدید از اصول هندسی برسد که حاوی هیچگونه تناقضی نباشد. او پایه های هندسه ای را بنا نهاد که بعدها کمک بسیار زیادی به فیزیک و مکانیک غیر نیوتنی نمود.

اشکالات هندسه اقلیدسی

اشکالات وارد بر هندسه اقلیدسی
هندسه ی اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکل گرفت:
اصل اول – از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر کشید.
اصل دوم – هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم – می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد.
اصل چهارم – همه ی زوایای قائمه با هم مساوی اند.
اصل پنجم – از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.
اصل پنجم اقلیدس که ایجاز سایر اصول را نداشت، به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل. بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سئوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد.
در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فورکوش بویوئی و … تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرنر و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثباط خود به کار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید.
یانوش بویوئی یکی از ریاضیدانان جوانی بود که در این را تلاش می کرد. پدر وی نیز ریاضیدانی بود که سالها در این این مسیر تلاش کرده بود .
و طی نامه ای به پسرش نوشت: تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم این راه را از اول تا آخر می شناسم. این شب بی پایان همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است، التماس می کنم دانش موازیها را رها کنی.
ولی یانوش جوان از اخطار پدیر نهرسید، زیرا که اندیشه ی کاملاً تازه ای را در سر می پروراند. او فرض کرد نقیض اصل توازی اقلیدس، حکم بی معنی ای نیست. وی در سال ۱۸۲۳ پدرش را محرمانه در جریان کشف خود قرار داد و در سال ۱۸۳۱ اکتشافات خود را به صورت ضمیمه در کتاب تنتامن پدرش منتشر کرد و نسخه ای از آن را برای گائوس فرستاد. بعد معلوم شد که گائوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است.
بعدها مشخص شد که لباچفسکی در سال ۱۸۲۹ کشفیات خود را در باره هندسه نااقلیدسی در بولتن کازان، دو سال قبل از بوئی منتشر کرده است. و بدین ترتیب کشف هندسه های نااقلیدسی به نام بویوئی و لباچفسکی ثبت گردید.

خاصیت اعداد بین صفر و یک

در یک عبارت توان مانند a به توان x که a مثبت و ثابت و x عدد بزرگتر از یک باشد حاصل توان نیز زیاد میشود اما اگر a کوچکتر از یک و بزرگتر از صفر باشد (بین صفر و یک) حاصل توان کوچکتر میشود.
به عبارت دیگر برای مثال شما اگر ۲ را به توان سه برسانید میشود هشت که از دو بیشتر است , اما اگر یک دوم (که عددی بین صفر و یک است) را به توان ۳ برسانید میشود یک هشتم که از یک دوم کوچکتر است.این خاصیت اعداد است که اگر عدی در انها ضرب شود یا به توان برسند جوابشان کوچکتر میشود.
* ایا میدانستید که اگر یک عدد دو رقمی را انتخاب کنید(مثل ۴۷ یا ۸۹ و …) و سپس عددهای ان را از خود عدد دو رقمی کم کنید(مثلا عدد ۴۷ : ۳۶ = ۷ – ۴ – ۴۷ ) عدد بدست امده همیشه مضربی از ۹ خواهد بود.
همچنین در مورد اعداد ۳ رقمی اگر چنین عملی شود (مثلا ۷۲۳ : ۷۱۱ = ۳ – ۲ – ۷ – ۷۲۳ )حال اگر رقمهای عدد بدست امده را با هم جمع کنید( ۹ = ۱+۱+۷ همیشه جواب یا ۹ خواهد بود یا ۱۸٫
*‌ عدد ۶ به هر توان طبیعی که برسد رقم یکان جوابش ۶ و رقم دهگانش فرد است و رقم یکان نصف این عدد همیشه ۸ خواهد بود.
*‌ ۴ تقسیم بر یک دوم ۸ خواهد بود که به نظر می اید میشود ۲

انحنای سطح یا انحنای گائوسی

اگر خط را راست فرض کنیم نه خمیده، چنانچه ناگزیر باشیم یک انحنای عددی k به خطی نسبت دهیم برای خط راست خواهیم داشت k=o انحنای یک دایره به شعاع r برابر است با k=1/r تعریف می کنند. همچنین منحنی هموار، منحنی است که مماس بر هر نقطه اش به بطور پیوسته تغییر کند. به عبارت دیگر منحنی هموار یعنی در تمام نقاطش مشتق پذیر باشد. برای به دست آوردن انحنای یک منحنی در یک نقطه، دایره بوسان آنرا در آن نقطه رسم کرده، انحنای منحنی در آن نقطه برابر با انحنای دایره ی بوسان در آن نقطه است. دایره بوسان در یک نقطه از منحنی، دایره ای است که در آن نقطه با منحنی بیشترین تماس را دارد. توجه شود که برای خط راست شعاع دایره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بینهایت است.

برای تعیین انحنای یک سطح در یک نقطه، دو خط متقاطع مساحتی در دو جهت اصلی در آن نقطه انتخاب کرده و انحنای این دو خط را در آن نقاط تعیین می کنیم. فرض کنیم انحنای این دو خطباشند. آنگاه انحنای سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب این دو انحنا، یعنی :

انحنای صفحه اقلیدسی صفر است. همچنین انحنای استوانه صفر استبرای سطح هذلولوی همواره انحنای سطح منفی است برای سطح بیضوی همواره انحنا مثبت است : در جدول زیر هر سه هندسه ها با یکدیگر مقایسه شده اند:

نوع هندسه	اندازه انحنا	نسبت محیط به قطر دایره	مجموع زوایای مثلث	تعداد خطوط موازی
اقلیدسی	صفر	عدد پی	۱۸۰	یک
هذلولی	منفی	کوچکتر از عدد پی	کوچکتر از ۱۸۰	بی نهایت
بیضوی	مثبت	بزرگتر از عدد پی	بزرگتر از ۱۸۰	صفر

قضایای این هندسه به باطلنما می مانند و شاید در نظر فرد مبتدی بی معنی جلوه کنند ولی تفکر پی گیر و آرا

اصل پنجم اقلیدس که ایجاز سایر اصول را نداشت، به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل!

بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سئوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد.

در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فورکوش بویوئی و … تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرند و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثبات خود به کار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید.